El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el
cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo)
es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores del
triángulo, los que conforman el ángulo recto).
En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
El Teorema de Pitágoras lleva este nombre porque su descubrimiento recae sobre la escuela pitagórica. Anteriormente, en Mesopotamia y el Antiguo Egipto se conocían ternas de valores que se correspondían con los lados de un triángulo rectángulo, y se utilizaban para resolver problemas referentes a los citados triángulos, tal como se indica en algunas tablillas y papiros. Sin embargo, no ha perdurado ningún documento que exponga teóricamente su relación. La pirámide de Kefrén, datada en el siglo XXVI a. C., fue la primera gran pirámide que se construyó basándose en el llamado triángulo sagrado egipcio, de proporciones 3-4-5.
El Teorema de Pitágoras es de los que cuenta con un mayor número de demostraciones diferentes, utilizando métodos muy diversos. Una de las causas de esto es que en la Edad Media se exigía una nueva demostración del teorema para alcanzar el grado de Magíster matheseos.
Algunos autores proponen hasta más de mil demostraciones. Otros autores, como el matemático estadounidense E. S. Loomis, catalogó 367 pruebas diferentes en su libro de 1927 The Pythagorean Proposition.
En ese mismo libro, Loomis clasificaría las demostraciones en cuatro grandes grupos: las algebraicas, donde se relacionan los lados y segmentos del triángulo; geométricas, en las que se realizan comparaciones de áreas; dinámicas a través de las propiedades de fuerza, masa; y las cuaterniónicas, mediante el uso de vectores.
Aplicaciones
El teorema de Pitágoras tiene numerosas aplicaciones, como el cálculo de la medida de los lados de un triángulo o de magnitudes en otros polígonos.
Conociendo la hipotenusa y un cateto,
calcular el otro cateto
A partir de la expresión general del
teorema de Pitágoras, despejamos los catetos a y b: Si c2=a2+b2 tenemos que b = √c2-a2 y a = √c2-b2
Reconocimiento de triángulos
rectángulos.
Un triángulo es rectángulo si sus lados verifican la relación del
teorema de Pitágoras. Si c2 ≠ a2 + b2, entonces puede ocurrir que:
- c2 > a2 + b2, el área del cuadrado sobre la hipotenusa es mayor que la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos. El triángulo es obtusángulo.
- c2 < a2 + b2, el área del cuadrado sobre la hipotenusa es menor que la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos. El triángulo es acutángulo.
Aplicaciones en
Geometría
Geométricamente, el teorema de Pitágoras
quiere decir que si dibujamos tres cuadrados, de forma que cada uno tenga el lado igual a uno de los tres
lados de un triángulo rectángulo, se cumple que el área del cuadrado mayor es igual a la
suma de las áreas de los otros dos.
Ahora bien, ¿esto ocurre solamente si la figura que dibujamos es un
cuadrado o pasa también con otras? En concreto, si tenemos un triángulo
rectángulo y dibujamos tres semicírculos cuyos diámetros son los tres lados del
triángulo, ¿hay alguna relación entre las áreas de esos semicírculos?
Demostración del teorema
El radio de cada uno de los semicírculos es la mitad del lado
correspondiente, por lo que sus áreas son:
y de igual forma
y
Sumando las áreas
Puesto que al ser el triángulo rectángulo se cumple que
Sumando las áreas
Puesto que al ser el triángulo rectángulo se cumple que
Demostraciones
El Teorema de Pitágoras es de los que cuentan con un mayor
número de demostraciones diferentes, utilizando métodos muy diversos. Las
demostraciones están divididas en cuatro grandes grupos: las algebraicas, donde
se relacionan los lados y segmentos del triángulo; geométricas, en las que se
realizan comparaciones de áreas;
dinámicas a través de las propiedades de fuerza, masa; y las cuaterniónicas,
mediante el uso de vectores.
El Chou Pei Suan Ching
Prueba visual para un triángulo de a = 3, b = 4 y c = 5 como se ve en el Chou Pei Suan
Ching, 500-200 a.n.e.
El Chou Pei es una obra matemática que se
considera mayoritariamente fue escrita entre el 500 y el 300 a.n.e. Se cree que
Pitágoras no conoció esta obra. El Chou
Pei demuestra el teorema
construyendo un cuadrado de lado (a+b) que se parte en cuatro triángulos de base a y altura b, y un cuadrado de lado c.
Demostración
Sea el triángulo rectángulo de catetos a y b e hipotenusa c. Se trata de demostrar que el área del cuadrado de lado c es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de lado a y lado b. Es decir: a2 + b2 = c2 Si añadimos tres triángulos iguales al original dentro del cuadrado de lado c formando la figura mostrada en la imagen, obtenemos un cuadrado de menor tamaño. Se puede observar que el cuadrado resultante tiene efectivamente un lado de b - a. Luego, el área de este cuadrado menor puede expresarse de la siguiente manera: (a-b)2 = a2 - 2ab + b2 Ya que (b-a)2 = (a-b)2 Es evidente que el área del cuadrado de lado c es la suma del área de los cuatro triángulos de altura a y base b que están dentro de él más el área del cuadrado menor: c2 = 4 *( a * b/2) + a2 - 2ab + b2= a2 + b2 y así ha quedando demostrado el teorema.
Demostración de Bhaskara
Bhaskara desarrolla una demostración gráfica y algebraica del
teorema de Pitágoras.
Bhaskara II, matemático y astrónomo hindú del siglo XII, da la
siguiente demostración del teorema de Pitágoras. Con cuatro triángulos
rectángulos de lados a, b y c se construye el cuadrado de lado c –izquierda-,
en cuyo centro se forma otro cuadrado de lado (a-b). Redistribuyendo los cuatro
triángulos y el cuadrado de lado (a-b), construimos la figura de la derecha,
cuya superficie resulta ser la suma de la de dos cuadrados: uno de lado a
–azul- y otro de lado b -naranja-. Se ha demostrado gráficamente que c2=a2+b2 Algebraicamente: el área del cuadrado
de lado c es la correspondiente a los cuatro triángulos, más el área del
cuadrado central de lado (a-b), es decir: c2=4 * ab/2+ (a-b) 2 expresión que desarrollada y
simplificada da el resultado c2=a2+b2, y el
teorema queda demostrado.
Demostración de Leonardo
da Vinci
El diseño inicial, con el triángulo y los cuadrados de catetos e
hipotenusa, es modificado por Leonardo da Vinci al añadir dos triángulos
iguales al ABC: el ECF y el HIJ.
El teorema de Pitágoras también fue abordado por una
personalidad del Renacimiento, Leonardo da Vinci. Partiendo del
triángulo rectángulo ABC con los cuadrados de catetos e hipotenusa, Leonardo
añade los triángulos ECF y HIJ, iguales al dado, resultando dos polígonos, cuyas superficies va a
demostrar que son equivalentes:
Polígono ADEFGB: la línea DG lo divide en dos mitades idénticas,
ADGB y DEFG.
Polígono ACBHIJ: la línea CI determina CBHI y CIJA.
Comparando los polígonos destacados en gris, ADGB y CIJA:
Se aprecia de inmediato que tienen tres lados iguales: AD=AC,
AB=AJ, BG=BC=IJ
Asimismo es inmediata la igualdad entre los ángulos de los
siguientes vértices:
A de ADGB y A de CIJA
B de ADGB y J de CIJA
Se concluye que ADGB y CIJA son iguales. De modo análogo se
comprueba la igualdad entre ADGB y CBHI. Además, un giro de centro A, y sentido
positivo, transforma CIJA en ADGB. Mientras que un giro de centro B, y sentido
negativo, transforma CBHI en ADGB. Todo ello permite establecer que los
polígonos ADEFGB y ACBHIJ tienen áreas equivalentes. Si a cada uno se le quita
sus dos triángulos –iguales- las superficies que restan forzosamente serán
iguales. Y esas superficies no son sino los dos cuadrados de los catetos en el
polígono ADEFGB, por una parte, y el cuadrado de la hipotenusa en el polígono
ACBHIJ, por la otra. El teorema de Pitágoras queda demostrado.
Usos en
la práctica social
- Para hallar la longitud de una escalera conociendo la altura del punto de la pared donde se recuesta, la separación desde la línea muro piso hasta el pie de la escalera.
- Calcular el diámetro de una tapa circular, se coloca una escuadra informal, cuyo vértice toca un punto del borde; se miden las sendas distancias del vértice a los puntos del borde donde la escuadra los interseca. Aplicando el teorema de Pitágoras, con las distancias anteriores se obtiene el diámetro.
- Construir una vereda diagonal. Para ello calcular la diagonal, no accesible, de un terreno rectangular o cuadrado, pero sí dos lados del terreno concurrentes pueden ser medidos.
- En tres dimensiones, para hallar la longitud de la diagonal de una esquina suelo dos muros, hasta la esquina opuesta de bóveda con dos muros. Si se trata de salón de clase se debe medir previamente: el ancho, largo y altura.
Tomado de http://www.ecured.cu/index.php/Teorema_de_Pit%C3%A1goras
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Demostración geométrica del Teorema de Pitágoras
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